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起重機主梁彎矩與剪力

我們從最基本的開始,初中都學(xué)過杠桿原理,人教版《物理》八年級下冊第12章「簡單機械」第1節(jié)「杠桿」里就提到過

1、什么是彎矩

我們從最基本的開始,初中都學(xué)過杠桿原理,人教版《物理》八年級下冊第12章「簡單機械」第1節(jié)「杠桿」里就提到過:


「力×力臂」這種計算方法是初中已經(jīng)講過的,這其實就是力矩的計算。我們通過這個物理量來研究物體的旋轉(zhuǎn),度量產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)的作用效果。力矩越大,對旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的影響就越大。

力矩仍然是力產(chǎn)生的,力是實際的相互作用,它的作用效果有平動和轉(zhuǎn)動兩種。

力對平動的作用效果,我們用'力的大小'來衡量,力對轉(zhuǎn)動的作用效果,我們用「力矩」來衡量。



對于一根懸臂梁,如果桿端有集中力 F 作用,梁發(fā)生彎曲而不是直接斷開,是因為有內(nèi)力把材料凝結(jié)在一起。內(nèi)力在截面上的分布,我們通常用正應(yīng)力 σ 來描述。圖中所示懸臂梁向下彎曲,梁上側(cè)伸長,下側(cè)收縮,也就是一邊受拉,一邊受壓。
對于這個截面,外力產(chǎn)生彎曲(旋轉(zhuǎn))的影響用力矩來衡量,就是 F⋅d 。
對于一根懸臂梁,如果桿端有集中力 F 作用,梁發(fā)生彎曲而不是直接斷開,是因為有內(nèi)力把材料凝結(jié)在一起。內(nèi)力在截面上的分布,我們通常用正應(yīng)力 σ 來描述。圖中所示懸臂梁向下彎曲,梁上側(cè)伸長,下側(cè)收縮,也就是一邊受拉,一邊受壓。
對于這個截面,外力產(chǎn)生彎曲(旋轉(zhuǎn))的影響用力矩來衡量,就是 F⋅d 。如果物體沒有轉(zhuǎn)動,而是產(chǎn)生彎曲,那么物體內(nèi)部也會產(chǎn)生力偶來抵抗荷載,同樣是用力矩來衡量大小,也就是彎矩。
通俗的說法:彎矩是一種力矩。另一種解釋說法,就是彎曲所需要的力矩。

2、彎矩與剪力的計算步驟

大學(xué)力學(xué)課程中規(guī)定,彎矩下部受拉為正(上部受壓),上部受拉為負(fù)(下部受壓),這是力學(xué)領(lǐng)域的定義。

但在土木建筑學(xué)領(lǐng)域,為了讓彎曲方向與變形方向一致,通常上部受壓的梁受到彎矩,畫在負(fù)方向。在起重機行業(yè),通常采用土建領(lǐng)域達(dá)到畫法,即上部受壓時,彎矩圖畫在下方。

畫彎矩圖(或剪力圖)是有技巧的,或者說快捷途徑的。但各種技巧都是建立在了解結(jié)構(gòu)受力,對于各種作用在結(jié)構(gòu)上的荷載使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的反力與內(nèi)力形式都能了然于胸的基礎(chǔ)上,才會省略一些相對來說不是很必要的步驟。

截面法是一種結(jié)構(gòu)力學(xué)中常用的分析方法,我們還是可以用力矩平衡求得支座反力后利用截面法求得彎矩方程,根據(jù)彎矩方程繪制彎矩圖,剪力同樣道理,彎矩和剪力是存在著微分關(guān)系,對彎矩求導(dǎo)就是剪力。

截面法它包括以下步驟:

(1)由平衡方程計算支反力;

(2)選擇截面:截面通常位于結(jié)構(gòu)中的一個特定位置,如集中力的附近。

(3)根據(jù)集中力、集中力偶劃分剪力、彎矩的變化區(qū)間;

(4)根據(jù)變化區(qū)間建立剪力與彎矩方程;

(5)繪制剪力圖、彎矩圖。

3、集中載荷作用下簡支梁彎矩和剪力方程推導(dǎo)

以常見的集中載荷作用下的簡支梁(起重機主梁近似為簡支梁結(jié)構(gòu))為例,介紹一下截面法求解彎矩和剪力的過程。


(1)計算支反力:

以B為旋轉(zhuǎn)支點,即MB=0,由力矩平衡可得:
FAL-F(L-s)=0,
可得:FA=F(L-s)/L
同理可得:FB=Fs/L
(2)選擇截面

在集中載荷左側(cè)選擇任一截面m-m;在集中載荷右側(cè)選擇任一截面n-n


(3)根據(jù)集中力、集中力偶劃分剪力、彎矩的變化區(qū)間

設(shè)定截面到支點A的距離為x,根據(jù)截面的位置,x有兩個變化區(qū)間:

區(qū)間1:0≤x≤s

區(qū)間2:s≤x≤L

(4)根據(jù)變化區(qū)間建立剪力與彎矩方程

對截面m-m處,根據(jù)力的平衡和力矩平衡進行分析:

m-m截面處的剪力:FS=FA=F(L-s)/L

m-m截面處的彎矩:M=FAx=F(L-s)x

對截面n-n處,根據(jù)力的平衡和力矩平衡進行分析:

n-n截面處的剪力:FS=FB=Fs/L

n-n截面處的彎矩:M=FAx=F(L-s)x

(5)繪制剪力圖、彎矩圖

剪力方程:
FS=F(L-s)/L(0≤x≤s)   ①
FS=-Fs/L(s≤x≤L)       ②
彎矩方程:
M=F(L-s)x/L(0≤x≤s)   ①
M=Fs(L-x)/L(s≤x≤L)   ②
根據(jù)方程繪制方程曲線即可
當(dāng)x=s時,彎矩取得最大值:
Mmax=F(L-s)s/L
這是個關(guān)于s的二次函數(shù),當(dāng)s=L/2時,取得最大值:
Mmax=FL/4
這就是起重機主梁,集中載荷作用跨中時取得最大的彎矩

4、常見的彎矩圖和剪力圖




5、起重機械檢驗師考題的解析

5.1   檢驗師考題1

下圖所示簡易電動單梁起重機,額定起重量Q=3t,跨度S=12m,有效懸臂長3m,其他尺寸見圖,電動葫蘆自重200kg,主梁截面為等直工字梁,截面如圖中A-A所示。 


問:(1)畫出滿載葫蘆在跨內(nèi)距左大車輪中心S/4處時,主梁的彎矩圖和剪力圖(其他問題的解答在隨后幾天給出解析)。

解析:首先說明一點,檢驗師考題不會考大家剪力方程和彎矩方程,最多考大家能不能畫出來剪力圖和彎矩圖,為了給大家講明白剪力圖和彎矩圖是怎么來的,我給大家把剪力方程和彎矩方程列出來。這道題用S表示跨度,和原題保持一致,注意和前面分析對應(yīng)起來。

先把有用信息提出來,集中載荷:
F=(3000+200)×10=32000 N

跨度:S=12 m

剪力方程:

FS=F(S-0.25S)/S=24000N(0≤x≤3m)   ①
FS=-0.25FS/S=-8000N(3m≤x≤12m)       ②

由剪力方程畫出剪力圖


熟練后,前面的都可以省掉,直接畫剪力圖。

彎矩方程:

FS=F(S-0.25S)x/S=24000x Nm(0≤x≤3m)   ①
FS=0.25FS(S-x)/S=8000(12-x) Nm(3m≤x≤12m)       ②

由彎矩方程畫出彎矩圖


熟練后,前面的都可以省掉,直接畫彎矩圖。


5.2   檢驗師考題2

一型號規(guī)格為QD32-22.5A5通用橋式起重機主梁結(jié)構(gòu)如圖所示,該起重機技術(shù)資料顯示:薄壁箱形結(jié)構(gòu)主梁,小車自重為12t,用吊鉤作業(yè),整機采用簡單控制系統(tǒng)能達(dá)到中等定位精度,主梁最大截面慣性矩I=1.5×10mm4,材質(zhì)為Q235,彈性橫量E=2.1×18N/mm2,g=10 m/s2,請問:

(1)最大彎矩發(fā)生在主梁什么位置?計算主梁最大彎矩值?畫出彎矩圖(其他問題的解答在隨后幾天給出解析)。

解析:先把有用信息提出來,集中載荷:

F=(32+12)×10=440 kN

跨度:S=22.5 m

這道題用S表示跨度

由本文第三節(jié)分析,當(dāng)集中載荷作用在跨中,彎矩最大。

不過要注意一點,這是通用橋式起重機,所有的載荷由兩根主梁承擔(dān),

計算任一根主梁的彎矩可作為該起重機的彎矩。

最大的彎矩為:

Mmax=440×22.5/8=1237.5 kNm

如果熟練,不用再推算彎矩方程。此時可以直接畫出彎矩圖。


注意:這道題是一個錯題,再說的直接一點,2019年之前的起重機械檢驗師考題,所有涉及彈性模量和慣性矩的數(shù)據(jù)全是錯的,是出題組的專家基礎(chǔ)力學(xué)知識薄弱導(dǎo)致的。這一點有機會在和大家細(xì)談。


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